さて、わたしたちは、クライン四天王とその影武者体の考察から、きわめて重要と思われる８つのタイプの格子体を入手し、これらの創り出す世界を探るべく積表を書き起こしたのだった。
この積表には多くの見るべきところがあるが、
わたしたちが今回、とくに着目したいのがこの部分。
ここにならんでいるのは、２乗して単位行列をなす格子体たち。
さて、ここでこんな疑問を発してみたい。
２乗して単位行列となる格子体(4×4)はこれで尽くされているだろうか？
答えはノーである。
他にも、こんな四種の格子体たちがそれに該当する。
逆にいうと、無限に存在する格子体(4×4)の中で単位行列の２乗根体は、たったの10種類ですべて網羅されるということだ。
なぜかわたしたちは、これらの型に親しみをおぼえる。
そう、まさしくこれらはバボアンの小格子をわたしたちに思い出させるのである。
ひょっとして、わたしたちが見ているものは、バボアンそのものなのでは？
ありえないことではない。バボアンが驚異の構造をもっていることは、わたしたち自身がいちばんよく知っている。
ならば、わたしたちはバボアンに忠実に従うことにし、次のような24種のすべての格子体を考察の対象とすることにしよう。
実際、このような観点からバボアンをとらえたことはなかっただけに、なにが起こるかは予測しがたい。心してとりかかることにしよう。
まずはAグループから。相愛数と紐づけられたバボアンに対するわたしたちの先入観を刷新する意味でも、どうかまっさらな気持ちで次の動画を観てみてほしい。
動画ではAグループに属している三つの２乗根体がとりあげられていた。
２乗根体の定義として重要なのは、２乗して〝はじめて〟という点である。この意味で、Aグループには単位行列が含まれているが、
これをわたしたちは１乗根体という名で取り扱い、区別するので注意してほしい。
ちなみに１乗根体と２乗根体をワンセットとしたとき、
すべてを組み合わせると、ぴったり16の全格子が埋まるのも興味深い。
では、つづいてBグループをみてみよう。
Bグループの中のきっかり半分が２乗根体にあたる。
そしてこれらを適宜、組み合わせることにより、奇しくもクライン四天王❷❸❹と同じ柄を生成することも頭にとめておきたい。
さて、１乗根体にも２乗根体にも選ばれず、あぶれてしまったバボアン小格子たちにも、まだ登場のチャンスを与えたいと思う。１乗しても２乗しても単位行列になれなくても、３乗したら単位行列になれる者がもしかしたらいるかも知れない。
３乗根体。
ぞくぞくと見つかるではないか。
さがせばいるものだ。
しかも、8種類の３乗根体はすべてAグループに属している。
Bグループの惨敗の様相を呈しているが、ここで彼らを見限ってはいけない。３乗しても単位行列になれなくても、４乗したら単位行列になれる者たちがいるかも知れないではないか？
さよう。
４乗根体に関してはBグループの圧倒的勝利。
ここまで登場した格子体を数え上げれば24。
ということは、バボアン24小格子体は１～４乗根体という概念により分類され尽くされるということ。
この事実が意味することはなにか？
どうやら徹底的にしらべる必要がありそうである。
