さて、わたしたちはこれまでに異なる観点から二通りの仕方で正則型&非正則型4–4相愛数全９種の分類をこころみてきた。
一つは平行移動。
内部数列の〝ずらし〟というテクニックを使ったものだった。
そして、もう一つが、
こちらは、4–4相愛数❤︎❤︎❤︎ポジションの柄が180度回転変換に対してどういう移り変わりをするか、という点に着目した分類法である。
が、この〝180度回転変換〟という謎の操作。もし4–4相愛数❤︎❤︎❤︎ポジションを超対称時計盤(16)を通して眺めたとき、まさにこの〝180度回転変換〟が摩訶不思議な効能を発揮することはあまり知られていない。
この時計盤がなんであったか。
さよう。時計の内部には正則型4–4相愛数が正方形のかたちでおさめられている。
※この超対称時計盤(16)のなりたちや性質については、以下を参考にしてみてほしい。
「正則型が時計盤の中で、正方形に対応しているならば、ほかの非正則型たちはどうなのだろう？」
諸君らにとっても、これはいたって自然な問いだろう。
というわけで、さっそくだが、この二つの非正則❶型-❷型ペアに注目してほしい。この二つが超対称時計盤(16)の中に移してもなお、相互に奇妙な関係を保っている事実をこれからお話させていただきたい。
まずは❶型から超対称時計盤(16)に移してゆこう。
それぞれの4–4相愛数❤︎❤︎❤︎ポジションを時計盤の中で見ると、
どうだろう。
各四点を線で結んでも正方形にならない。
しかも形状はピンクとブルーで異なっている。
ガッカリな結果である。では、もう一方の❷型についても調べてみる。
こちらも歪な形状。
が、なにか気づくことはないか？
❶型と❷型で共鳴が起きているような……
じっくり見つめる必要があるようだ。ピンクの方から先にチェックしよう。
驚くべきことに、この二つの関係。時計盤をまるごと180度回転変換することにより、❶型の相愛数❤︎❤︎❤︎ポジションが、❷型の相愛数❤︎❤︎❤︎ポジションに遷移するのである。
同じことはブルーの相愛数❤︎❤︎❤︎ポジションにもいえる。
偶然にしては、あまりに出来すぎた話。
いや、どうも偶然ではなさそうなのである……。
非正則❸型-❹型ペアでやってみよう。
ピンクとブルーの4–4相愛数❤︎❤︎❤︎ポジションを時計盤の中でとらえたとき、やはり❸型-❹型との間で180度回転変換関係が見出されるのである。
非正則❼型-❽型ペアにおいても、またしかりである。
さて、ここでまた一つの疑問。
ペアをもたない非正則❺型と❻型はどうなるのか？
じつは、時計盤の中では、この一匹狼型同士の二つは仲良くペアを組むようである。
それぞれ一定の角度で回させれば、❺型と❻型は互いに互いの位置を変換しあう。
※ブルーとピンクのカラー変換も行われていることに注意。
それにしても、67.5度とはなにか？
奇しくもこの角度は、正則型のピンクをブルーのポジションに変換させるそれと一致しているようである。
はたして180度回転変換の謎は解明されたのか。
それとも、たんにわたしたちは謎を深めただけなのか…。
