さて、クライン四天王とその影武者らがつくりだす積表構造。
この章では構造の腑分けの仕方に別の観点をもちこんでみたいと目論んでいる。
まず、クライン四天王が差配する積表構造について。
本質的な形状にのみ着目すれば、以下の四種の構造に分解還元されるだろう。
一方、影武者体が差配するこちらの積表構造については、
こうしてみると、これらすべての形状は、いずれもバボアンのいずれかの小構造に含まれている。興味深い事実としてこのことは忘れずに、しっかりと記憶にとどめておこう。
さて、ここで前章でこころみたように、からっぽの格子体に０と１をわりあててみよう。
こんなことをしてなにを期待できるというのか？
こんなことを、である。
なかなかキレイである。
どうやら、この四つの構造を結びつけているのは単位行列(4×4)のようである。
驚くべきは、もう一方のグループ。
これらもまったく同じことをやってのけると言ったら？
どうだろう。
これら八つの格子体が、いかに単位行列(4×4)と近しい関係にあるか、おわかりになっていただけたと思う。
なにかある。
わたしたちはそう直感する。
実際、この八種類らは独自の世界を形成している。
タイプ同士の関係を積表としてあらわせば、
わかるだろうか。こうして積表が書けるということは、❶～❽型が〝行列の積〟という演算について閉じた世界をつくることができるということ。
ちょっとこの世界を眺めてみよう。
興味深いのは、積表におけるこのエリア。
さよう。
ここにはクラインの四元群がボス然として、どっかり腰を下ろしている。
いや、❶❷❸❹ばかりではない。
❶❷を固定。そして❸❹の代わりに❺❼を選び、それらをギュギュっとよせてみる。
なんと。
これまた、クラインの四元群の構造……
ではないか!?
まさかである。
ボスは二体存在したのである。
いや、じつはさらに大物級の構造が積表の中には隠れている。
❶❷❻❽をまとめてみよう。
すわ、三体目のクラインの四元群ではないかと見誤ったかも知れない。
それほど、二つの構造は酷似している。
が、よくよく見つめなおすと、
主対角部分には、決定的相違が……
惜しい。
惜しかった、と残念賞を準備しているそこの御仁。待ってくれたまえ。❶❷❻❽型はけっしてそんなものは受け取らないだろう。
そう。
かれらは〝クラインの四元群の出来損ない〟といった地位に甘んじる存在たちではない。断じて。
かれらの正体……
口に出すのもおそろしい。かれらは数の世界ではもっともよく知られたかの者たち。
さよう。単位円に象徴される１、–1、i、–i。
数の創始者と目されている存在たち。
かの四存在が形成する世界と、
❶❷❻❽型がなす世界の構造は瓜二つ。
こんなコンパクトな積表の中に、始源の四存在を含め、クライン四天王が２セット。いったい、わたしたちはなにと対峙させられているのか？
はっきり言おう。この背景にはさらに広大な世界がある。
わたしたちはその切り取られた一部分を見ているにすぎない。
新たな驚異はここから始まるのである。
