これまでもべっとり手垢がつくほど扱ってきたこの超格子体。

わたしたちは今回より、この超格子体の拡張にのぞみたい。

わかるだろう。
右側は従来より格子数の置き方(方向)を変えてみたものだ。つぎにわたしたちがこころみるは、

そう。行列の積という演算を用いれば、積の順を入れ替えることによって二つの新たな合成格子体を手に入れることができる。いわゆるマテオンの系である。

それぞれを呼び分ける細かい名称のちがいについては後の章にゆずるとして、この章はこれらの新参の合成格子体とすこしでも馴染んでいただくためのイントロダクションとしたい。

まずは準備運動として、この動画を観ていただくこととしよう。

２乗総和の一致。
ちなみに両者においてたんなる総和は一致を見ない。

にもかかわらず、各格子数を２乗次元にもってゆくと、両者がきれいにバランスする。この奇妙な現象については、このケースにかぎらず、さまざまな場所で目撃されるので、章を別立てて説明することとする。

つぎに、それぞれのマテオンの内部構造に視点を移す。

まずは、このマリス/タリス構造を通して、二つのマテオンの内部をのぞいてみよう。

どうだろう。それぞれの格子体はマリス/タリスによってみずからを二分する。この性質はもちろんオリジナルのプレーン超格子体のにもそなわっており、その事実をわたしたちは8–8相愛数という形式で記憶にとどめているはずだ。

二つのマテオンには、これほど強い二分力はなく、その力は１乗次元にとどまる。が、２乗次元ではまったく別様の不可思議なことが起こりうるということもお伝えしておこう。

驚異の２の累乗数生成力。一方は２の16乗数を、そしてもう一方は表現の仕方を工夫すれば16の２乗数を。どちらも２つに分割された16個の数より生成されていることを思えば、この結果はあまりにもきれいすぎる。しかも、二つのマテオンの間ではこのような関係が成立している。

けっして、このような美しい関係は偶然ではない。詳細は後の章で述べることとなるが、マテオンの系にはほかにも多くの格子体が存在しており、そのすべてについて上述した２の累乗数生成現象、そしてペア同士の密な関係が認められるようなのだ。

さあ、肩ならしがすんだところで、じょじょに本題へと入ってゆきたい。