さて、ひきつづき、ゲール構造である。
わたしたちは従来のn乗体構造不変の法を発展させ、
この二間積–対角和変換の法を手に入れるに至った。が、ここで一つ注意。法の適用対象となるA,Bはともにゲール構造を有していればなんでもよい、というわけではない。
どういうことか。
ゲバール(8×8)を通してこの法の成立条件について少し考えてみたい。
ごらんのように、ゲバール(8×8)は全域にわたってゲール構造を所有している。
わたしたちはここから好きに二つの格子体(4×4)を切り出そう。
では、これら二つの格子体同士をかけあわせてみるとどうなるか。
生成された格子体がもとの構造を継承していないのは明白だ。ゲール構造は維持しているものの、外観は対称行列→非–対称行列へと骨格を崩してしまっている。
だが、ゲバール(8×8)の中で二つの格子体(4×4)をうまく取り出すと、
そうなのだ。
ゲバール(8×8)内部のこの二つの内包格子体(4×4)同士では二間積–対角和変換の法は成立する。
なぜ、これら二つの内包格子体は強い結びつきを持ちうるのか？
その謎をとくためのヒントは以下の動画にある。
ここに取り上げられた一連の内包格子体(4×4)。
それらはすべてゲバール(8×8)内部の平行移動体と解釈される。
ちなみにゲール構造的に読み解けば、これらの係数x,y,zは共通して記述しうる。
ゲール構造における係数x,y,zを共有する格子体(4×4)は二間積–対角和変換の法を成立させる。この仮説の強度をためす意味で、平行移動体たちに一つ下にずれていただこう。
これら平行移動体同士は係数(x,y,z)＝(3/2,2,5/2)を共有している。
問題は、かれらが問題なく二間積–対角和変換の法を成立させるか、だ。
成立。
どうやら、わたしたちはゲバール内包格子平行移動体に関する重要な法を手に入れたようだ。
この法においてBをAと置けば(AがAの平行移動体であることは自明)、冒頭でも掲げた累乗体の法と同主張となる。
さて、ここで平行移動体ばかりをチヤホヤしていてはバランスに欠くだろう。
さよう。公平に垂直移動体も取り上げてやらねばならない。
ゲバール(8×8)からこのような二つの内包格子体を切り取り、それらを積合成する。
生成された格子体の形に注目。
さて、これらもまた、もとの内包格子体からしっかりと構造を引き継いでいるように見える。
なるほど。
垂直移動体の背後にも法が存在するということか。
たしかめよう。
ゲバール(8×8)からこのような一連の垂直移動体をピックアップする。
はたしてかれらが、どのような光景をくりひろげてくれるのか。
期待することとしよう。
わたしたちが見ているものは、まさしく二間積–対角和変換の法。が、気をつけねばらないことがある。それは平行移動体で見ていた法とは微妙に異なるということ。二つの法をならべてみると、
わかるだろうか？
対角和の対象となる格子体と骨格となるべき格子体が、垂直移動体と平行移動体とでは真逆(交換関係)になっているということだ。
直交する方向同士における美しい対称性。
深遠である。
