さて、今回の話をするにあたっては、簡単な超格子体からはじめるがよかろう。
ご存知、プレーン超格子体。そのもっともシンプルといっていいのが、この2×2のサイズ。登場する数は１から４。その手頃感は、諸君らも認めるところであろう。では、これを使ってまずは、
時計回りに90度回転。さらにつづけて、
こんどは左右反転。ほしかったのはこれである。
いわゆるこれは、あなたがたの惑星で「転置行列」という呼び名で知られているものだが、わたしたちは他の回転/反転体ファミリーも同等にあつかいたいので、ここでは90–Rという表記をさせていただくことにする。
今回はこの二つの超格子体らが見せてくれる、〝ちょっとした秘技〟をご紹介したい。かれらが用いるのは行列の積。
以前にも述べたように、行列の積というのは積の順序を変えると、異なる結果が生成される。それゆえ、ここでは、二つの積合成体を得ることができる。
さて、全格子数の総和をとってみると、総和は不一致。おもしろくともなんともない。肩を落として、この場を立ち去ろうとしたあなた。いましばらく辛抱してほしい。ためしに総和を２乗次元に持ち上げると、
おや。ピタリと一致。ちなみに３乗以降の次元では総和は不一致。よって、ここでは〝相愛力〟という大仰な言葉をつかうのはふさわしくないだろう。
たんなる偶然なのではないか。
眉をひそめる諸君らに見ていただきたいものがある。
超格子体を渦周回型にしても、２乗数総和一致現象がたしかめられる。
これでも偶然なのか？
ここは思いきって、話を3×3の超格子体の世界に拡張しよう。
用意するのはプレーン超格子体(3×3)とその90–R(転置行列)。
でもって、行列積によって二種の合成体を生成する。
まず単純な全格子の１乗総和をしらべてみると、
このように不一致がたしかめられるものの、
どうだろう。
２乗総和となると、ねらいすましたかのようにピタリ。
ここで強調したいのは〝２乗数総和のみ一致〟ということである。そう、３乗以降もまた両者の総和は不協和となる。
では、超格子体を渦周回型にしてみよう。
どうだ。だんだんと、これを〝ささやかな技〟とかたづけてしまっていいのかはわからなくなってきたであろう。さらに4×4の超格子体の世界へ。
プレーン超格子体(4×4)とその90–R(転置行列)。
これらを行列積で合成。
こうして得られた二種の合成体は１乗総和では一致しないが、
なぜか、２乗総和では共鳴を起こすのである。
渦周回型はどうか？
やはり２乗数総和は一致。
はてさて、渦周回の流れを逆にしてみてはどうだろう。
そう、このような渦周回においても、
いや誤解しないでほしい。なにも〝渦周回型〟にこだわっているわけではない。格子体に入れる数は諸君らが好きに決めてよい。どんなふうに格子数をセッティングしてもいまわたしたちが見ている現象は確認されるであろう。いや、おそらくは5×5、6×6、7×7…の超格子体の世界にひろげてさえも……。
たしかめられたし。
