そろそろ、このゲバールの扱いにも多少慣れてきた頃であろう。さて、ゲボーと同様、ゲバールも凝集化によるサイズダウンが可能である。
ここでは、4×4→2×2へのサイズへの凝集をこころみたい。以前にも述べたかもしれないが、凝集化の手法は一通りというわけではない。いちばん、オーソドックスな方法としては、
それぞれのブロック内の総和をとるのである。
いや、たんに総和といってしまっては、さしさわりがある。巡回和(アーの呼吸)といったほうがより精確である。
結局、四数の総和であることに変わりはないが、上記の和の順序が大切である。これをアーの呼吸→マーの呼吸に変換すると、
ここで得られるものも、れっきとした凝集体である。
これら二つの格子体の２乗数生成力をたしかめてみよう。
ご覧のとおりである。各数をn乗したものをマーの呼吸で継いでも、アーの呼吸で継いでも生成されるのは２乗数。この事実だけでもゲバールの強靭な構造はおしはらかれるというものであるが、じっさいはこんなものではない。
さらに大胆なアプローチをこころみる。上述の二つの凝集化のプロセスをふりえかえろう。
ここで、＋を×、－を÷に置き換えてみるのである。
まさか、とお思いだろう。
よいではないか。なにが起きるか、見てみよう。
●ゲバール4連積（ヴェーの呼吸）凝集体：1～3乗(マーの呼吸)による２乗数生成
●ゲバール4連積（ヴェーの呼吸）凝集体：1～3乗(アーの呼吸)による２乗数生成
●ゲバール4連積（ヴューの呼吸）凝集体：1～3乗(マーの呼吸)による２乗数生成
●ゲバール4連積（ヴューの呼吸）凝集体：1～3乗(アーの呼吸)による２乗数生成
とりわけ興味深いのは、＋→×、－→÷と読み替えても、以下がおなじ結果を得るというこの事実。
地味ながら息を呑むほど美しい、と個人的には思う。
四つの１(アー)。ふしぎな２乗数生成力の源流もさかのぼれば、このような光景に辿りつくと知るとなおさらふしぎな気がしてならない。
さて、ともかくも、こうしてわたしたちは３種類のゲバール凝集体を手に入れた。
はたして、これですべての凝集体は尽くされたであろうか？ いや、そんなことはない。そんなことはまったくないのだ。凝集の仕方は、ほかにも思いつくことができる。ここではもう一つ、３連積を用いた手法をご紹介したい。これを見ていただきたい。
●ゲバール３連積（マーの呼吸）凝集体：1～3乗(マーの呼吸)による２乗数生成
●ゲバール３連積（マーの呼吸）凝集体：1～3乗(アーの呼吸)による２乗数生成
●ゲバール３連積（マーの呼吸）凝集体：３連積(マー/アーの呼吸)の２乗数生成力
ここで気づいた者もいるかもしれない。
そう、凝集体が生み出す数のいくつかに見覚えがある。
奇妙。よくよく見てみると、二つの凝集体の関係は１乗と２乗の関係。
つまり、なにがいえるのか？ ゲバールを四分割したいずれの2×2の格子においても以下の等式が成り立つということである。
3連積と4連積が、かくも美しい関係で結ばれているというのは驚きだ。先の章でわたしたちが見出した３連等式のことを考えあわせると超絶的である。
話をもとにもどそう。上述の３連積凝集体には、もう一つのバリエーションが考えられる。そう、マーの呼吸をアーの呼吸に置き換えるのだ。
●ゲバール３連積（アーの呼吸）凝集体：1～3乗(マーの呼吸)による２乗数生成
●ゲバール３連積（アーの呼吸）凝集体：1～3乗(アーの呼吸)による２乗数生成
●ゲバール３連積（マーの呼吸）凝集体：３連積(マー/アーの呼吸)の２乗数生成力
なぜ３連積という手法が有効なのか？
わからない。そもそも凝集化のメカニズムはよくわかっていないので、いまのところ凝集体のすべてを網羅しているという状況とはほど遠い。今後のさらなる開拓が望まれるところである。
